Les PROBLEMES de LUDO et MAT

Production par des élèves de seconde

de Problèmes récréatifs

associés à du calcul formel

et leur mise en page web.

Par André Harlé

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PREAMBULE

Le calcul formel entre dans les lycées (par les programmes de terminale, un plus grand nombre de calculatrices,...). La baisse du coût de ces machines les rend de plus en plus présentes dans les sections scientifiques, mais aussi dans celles qui ne le sont pas et aussi en seconde ; dans un proche avenir, elles seront possédées par la plupart des élèves.

La "passivité" devant la machine, son "utilisation sauvage" et " l'effet boite noire" doivent amener les enseignants à les intégrer dans leurs démarches pédagogiques et à proposer de nouvelles utilisations didactiques.

Les pages qui suivent sont l'expression de deux années scolaires (97-99) de réalisation d'un projet du groupe calcul formel de l'IREM de Picardie.

A) LE PROJET

Des élèves

• en situation d'autonomie
• en club, modules ou à la maison

créent

• des énoncés de problèmes dont la résolution fait appel à du calcul formel
• un site web où ils proposent ces problèmes, "pilotent le lecteur" par des questions successives et leur proposent une solution.

utilisent

• un logiciel de calcul formel "DERIVE "pour créer des problèmes et les résoudre.

Quelques motivations du projet :

La CREATION de PROBLEMES

propose aux élèves

1. une nouvelle approche des Mathématiques
2. une situation active
3. une démarche heuristique "naturelle"
4. une responsabilité face au produit fini
5. une autre source de motivation

Les PAGES WEB sont

1. une vitrine des réalisations(mais aussi une interface qui agit sur le problème posé)
2. une motivation pour que ça soit

• BEAU (grahiques, couleurs,...)

• BIEN (structuré, cohérent,...)

• BON (vérifications,...)

L'utilisation de "DERIVE"

Avancer vers ceci :

"Les élèves ont compris que le logiciel n'allait pas résoudre les problèmes à leur place mais qu'il permettait de faire des Maths plus expérimentales" [1]

B) CONCRETEMENT

1) Les conditions de réalisation

a) LE CLUB

* Objectif anoncé

• jouer avec les Maths
• créer des problèmes amusants
• réaliser des pages web

* Les élèves

• 7 élèves (1heure par semaine) chaque année
• 5 élèves supplémentaires la deuxième année (1heure tous les 15 jours)
• volontaires de classes de seconde
• leur profil :

1. soit : qui viennent faire des Maths a priori de façon décontractée et ludique
2. soit : qui sont attirés par la création de "belles pages web" et qui font des Maths accessoirement.

Il y a ainsi des élèves "matheux" et d'autres en difficulté.

* La situation

• en salle informatique
• en atelier de un à deux élèves
• un par machine
• en autonomie : l'enseignant est là, mais en retrait. Il donne des pistes, coordonne, donne des aides mathématiques ou techniques (pour ces dernières, les élèves qui lui en donne souvent !)

b) EN CLASSE

- Les TP facultatifs

* Objectifs

• création d'énoncés de problèmes à caratère récréatif
• les résoudre
• en donner une présentation qui implique le lecteur et l'aide à comprendre
• les mettre en forme sur des panneaux A4

* Les élèves

volontaires de deux classes de seconde

* Situation

• en groupes de deux à quatre
• au CDI et à la maison

- Les modules

Quatre séances de 1h30 la deuxième année

• utiliser le logiciel "DERIVE" :

- Une séance d'appropriation du logiciel

- utilisation des fractions continues pour résoudre l'équation du nombre d'or

- recherche de valeurs exactes et approchées pour la suite de Fibonnacci

• tester le site web comme utilisateurs

Résoudre les problèmes posés à l'aide d'une calculette sans calcul formel

2) Chronologie de la réalisation

a) CREATION DES PROBLEMES

• recherche d'énoncés de problèmes ciblés (principalement au CDI)
• selection par l'enseignant de problèmes parmi ceux proposés (intérêt pour la mise en oeuvre de calcul formel,...)
• création et résolution de nouveaux énoncés

- pour le même problème mathématique

- puis adaptation ou extension pour créer un "nouveau" problème

• mise en forme de ces problèmes avec "une histoire" à caractère récréatif
• présentation "didactique" de ce problème et de la recherche de sa solution
• en donner une solution
• vérification finale

b) CREATION DES PAGES WEB

• apprentissage des "bases" de la création de pages en HTML( 2H30 de TP)
• mise en page des problèmes
• liens hypertexte
• création de blocs homogènes
• créations graphiques (images, images animées, fonds,...)
• harmonisation et cohérence de l'arborescence
• test du site hors web

C) QUE CONCLURE ?

1) La motivation des élèves

En club ou en classe raisons pour lesquelles la motivation a été soutenue :

• le volontariat
• participer à une nouveauté
• créer un produit final visible du public
• faire des réalisations "jolies" et "amusantes"
• le web est à la mode, un autre média
• utiliser l'outil informatique (autre support, sortir de la classe,...)
• découverte d'un outil "magique" , puissant et "nouveau" pour le calcul formel
• sortir de la façon "habituelle" de travailler au lycée

2) Des avancées

• certains ne se sont jamais autant creusé la tête pour faire des Maths

• ambiance de pionniers et de créateurs : "ce que l'on fait, personne n'a jamais fait la même chose".
• découverte de Mathématiques autres : (où la "vérité" n'est pas donnée à priori, des domaines inconnus des élèves, vivantes, à faire partager,...)

3) Découvertes sur et par le Calcul Formel

"Car il s'agit bien de Mathématiques ! Les principales difficultés rencontrées par les élèves le prouvent.Ce sont la compréhension et le sens qui posent problème. Notre but était de confier les calculs longs et compliqués au logiciel DERIVE pour dégager tout le temps necessaire à la compréhension et de centrer le dialogue entre maitre et élève sur le sens de ce qui est demandé et de ce qui est à faire".[2]

• pouvoir "pousser" une idée très loin pour "voir" ce qui se passe et conjecturer.
• utiliser puis combattre l'effet "boite noire" :

1. on a des résultats facilement
2. rupture : on peut avoir différents résultats ou pas celui qui est attendu
3. on réfléchit : argumentations, comparaisons, recherches, vérifications,... . Constat : il est indispensable de raisonner, chercher à comprendre et connaitre le fonctionnement des règles appliquées.

"L'utilisation de logiciels comme DERIVE...favorisant, en libérant les élèves des calculs, des tracés graphiques, en un mot du travail technique, un fonctionnement plus réflectif, plus stratégique, plus conceptuel..."[3]

4) Quelques difficultés

• dépendances techniques (informatique,HTML, on s'y perd facilement,...)
• l'autonomie demande du temps (aller-retour, voies sans issue,concertation,...).L'éfficacité est donc faible.

5) Ce qui peut être fait par la suite

• soumettre à un groupe ( qui n'en a pas eu connaissance) la résolution des problèmes avec DERIVE comme seul outil (l'arrivée tardive du logiciel ne l'a pas permis).
• demande de réactions d'autres élèves via a-mail ou par formulaire dans le site ou avec d'autres classes
• proposer dans le site, avec les solutuions, des programmes de calculatrice et des démarches de résolution avec DERIVE

Eléments bibliographiques

[1] Gilles ALDON Irem de Lyon "une voiture à la dérive" in Repères IREM n°21 10/95

[2] "infomathic" Brochure IREM de Strasbourg

[3] Michelle ARTIGUE Didirem, U.Paris7 "un regard didactique sur l'utilisation des outils de calcul formel dans l'enseignement des Mathématiques" in Repères IREM n° 19 05/95

[4] "dérive un outil à intégrer" collège-lycée brochure CRDP 1993

[5] Claudine ZIZI " MAPPLE, DERIVE, MATHEMATICA" éditions archimède 1995

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